Insieme dei Numeri Naturali

I numeri naturali sono gli oggetti matematici più noti dell’intero ambito matematico in quanto nascono dalla stessa attività del contare e sono noti a tutti. Contare significa passare da un numero ad un altro, ossia creare una successione di numeri applicando la logica semplice ed innata che suggerisce che dato un numero esso sia seguito da un altro numero che risulta aumentato di un’unità. I numeri naturali rappresentano il primo approccio di ciascuno individuo alla matematica: la loro immediata e facile comprensione, se da un lato favorisce l’amplissima diffusione di questi numeri, dall’altro fa sì che ne se conoscano poco gli aspetti matematici formali. Lo scopo di questa lezione è presentare i numeri naturali non più come sequenza di numeri appresa mnemonicamente da bambini, ma come entità matematica a se stante dotata di proprietà e caratteristiche che fanno sì che i numeri naturali siano utilizzabili nella vita di ogni giorno.

L’insieme dei numeri naturali

Quando pensiamo ai numeri naturali siamo portati a pensare ad essi come gli strumenti matematici per eccellenza per fare molteplici operazioni. La capacità di questi numeri deriva da alcune proprietà che fanno sì che possiamo eseguire le operazioni in modo semplice ed immediato. Per poter comprendere le proprietà che stanno alla base delle attività di calcolo è necessario pensare i numeri naturali non più come sequenza infinita di numeri, ma come un insieme che contiene al suo interno tutti i numeri naturali, da zero ad infinito.Formalmente questo insieme è indicato con la lettera [math] \mathbb{N} [/math], scritta proprio in questo modo particolare, e viene rappresentato nel modo seguente:

[math] \mathbb{N}=\left\{ 0;1;2;3;4;… \right\} [/math]

 Per comprendere le proprietà di questo insieme, rappresentiamo graficamente il modo con cui la successione di numeri naturali prende forma (Figura 1):

Figura 1 – Sequenza numeri

Integrando la figura 1 con le nostre conoscenze innate sui numeri naturali possiamo affermare che l’insieme [math] \mathbb{N} [/math] gode delle seguenti proprietà:

1. È un insieme infinito;
2. Ogni numero naturale ha sempre un successivo: dopo il numero 3 sappiamo che c’è il numero 4, dopo il numero 4 c’è il numero 5 e così via fino ad infinito;
3. Ogni numero naturale, ad eccezione dello zero, ha sempre un precedente: prima del numero 8 c’è il numero 7, prima del numero 100.000 c’è il numero 99.999 e così via;
4. Lo zero è un numero naturale e rappresenta l’elemento minimo, ossia l’elemento più piccolo nell’insieme dei numeri naturali (i.e., è il più piccolo numero naturale);
5. L’insieme [math] \mathbb{N} [/math] non ha elemento massimo per cui non è possibile identificare un numero naturale che sia il più grande di tutti.

Relazioni tra numeri

Un aspetto fondamentale nello studio dei numeri naturali come insieme è quello relativo alla relazione tra i numeri, ossia l’analisi di tutte le possibili relazioni che possono intercorrere tra due numeri. Mi spiego meglio. Quando affermiamo che per qualunque numero naturale esiste un successivo o un precedente definiamo al contempo che tra due numeri naturali è possibile stabilire una relazione di ordine e sapere qual è il più grande o il più piccolo dei due.

Per fare questo tipo di considerazioni consideriamo due numeri naturali qualsiasi che chiamiamo rispettivamente a e b senza riferimento specifico a questo o a quel numero naturale. La relazione che passa tra questi due numeri può essere una delle seguenti:

1. a < b (a è minore di b)
2. a > b (a è maggiore di b)
3. a = b (a è uguale a b).

Se scegli due qualsiasi numeri naturali potrai osservare che vale una delle tre relazioni. Scegliamo ad esempio i numeri naturali 9 e 12, quindi non necessariamente consecutivi, ed osserviamo che 9 è minore di 12, per cui scriviamo che la relazione di ordine