Teoria della probabilità: Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes è uno dei concetti fondamentali nella teoria della probabilità in quanto consente di determinare la probabilità di un evento integrando conoscenze pregresse con nuove informazioni. Il suo utilizzo è fondamentale in molteplici campi di ricerca. In medicina, il teorema di Bayes ricopre un ruolo fondamentale per l’ambito diagnostico: grazie ad esso è possibile determinare con un buon livello di accuratezza la probabilità che un paziente soffra di una determinata patologia dato un test positivo. Partendo proprio da tale applicazione pratica del teorema, questa lezione ha lo scopo di presentare il teorema di Bayes in modo induttivo così che sia possibile non solo apprendere il contenuto del teorema, ma la logica sottostante alla sua formulazione.

Buona lettura!

Esempio introduttivo

Supponiamo di voler determinare la probabilità che un paziente abbia una determinata patologia dato un risultato positivo ad uno specifico test diagnostico. Indichiamo l’evento “paziente malato” con [math]D[/math] e il risultato del test positivo con [math]E[/math] (i.e., la lettera [math] E [/math] sta per “evidence”). Ad una prima lettura il problema presentato sembrerebbe risolvibile con una semplice applicazione della formula della probabilità condizionata in quanto la domanda sottostante al problema (Qual è la probabilità che un paziente sia ammalato dato il test positivo?) presenta l’evento “paziente malato” come un evento la cui probabilità dipende dall’esito del test. Seguendo questo approccio sembrerebbe dunque che la probabilità che il paziente sia ammalato dato il test positivo